16. 평면 표면에서의 근축 굴절 (1)

 

각이 매우 작을 때는 몇 도로 나타내는 각들의 비율과 각의 sine값의 비율 이나 각의 tangent의 비율은 거의 같다.

 

근축광선은 면에 세운 법선 근처의 작은 영역 범위 내로 입사되는 광선이다.

 

 

근축광선들의 입사각과 굴절각은 작다. 그들의 근축 비율들은

\( \frac{\tan(\alpha)}{\tan(\alpha')} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha')} = \frac{\alpha}{\alpha'} \)

이다.

 

각들의 sine 부호를 소거함으로서 근축광선에 대한 Snell의 법칙을 구할 수 있다.

 

\( n \sin(\alpha) = n' \sin(\alpha') \gg n \alpha = n' \alpha' \)

 

\( \frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{n'}{n} \)

 

이를 평면 굴절경계면에서의 굴절에 대한 관계식을 보면

\( \frac{\tan(\alpha)}{\tan(\alpha')} = \frac{u'}{u} \)

이다.

 

이 식을 근축광선에 대한 식으로 등가적으로 쓰면

\( \frac{\tan(\alpha)}{\tan(\alpha')} = \frac{u'}{u} \gg \frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{n'}{n} \)

이 된다.

 

위 두 식을 비교하면 우변을 동등하게 둘 수 있으므로

\( \frac{u'}{u} = \frac{n'}{n} \)

가 된다.

 

따라서 근축광선에 대한 상 방정식은

\( \frac{n'}{u'} = \frac{n}{u} \)

가 된다.

 

이 식을 보면 상 방정식에서 각 \( \alpha \)가 소거되어 있음을 알 수 있다.

 

광축 위에 있는 점 물체 M으로부터의 모든 광선들은 실상 또는 허상점 M'로 굴절되게 된다.

 

물체점 M과 상점 M'들은 공액점들(conjugate points)이다.