28. 근축 상 방정식

 

 

 

위 그림에는 구 굴절면에서 굴절 광선이 물체점 M으로부터 상점 M`으로 진행하는 것을 보여준다.

삼각형 MBC에서 \( \alpha' = \theta + \phi \)

삼각형 M'BC에서 \( \phi  = \alpha' - \theta' \) 또는 \( \alpha' = \phi + \theta' \)

 

Snell의 법칙을 근축에 대한 가정에 따라 표현한 근축 방정식은

\( n \alpha = n' \alpha' \) 이다.

 

위 두 삼각형에 대한 식과 합치면 아래와 같은 형식으로 변하게 된다.

\( n ( \theta + \phi  ) = n' ( \theta' + \phi ) \)

\( n \theta + n \phi  = n' \theta' + n' \phi \)

\( n' \theta' = n \theta - (n'-n) \phi \)

 

근축조건으로부터 광선의 기울기는 매우작고 따라서 B와 D는 정점 A에 접근한다.

한계 점에서 BD=BA=h, DM=AM=u, DM'-AM'=U 그리고 BC = AC =r로 두면, 따라서

\( \theta = \tan \theta = \frac{h}{MA} = -\frac{h}{u} \)

\( \theta' = \tan \theta' = \frac{h}{M'A} = -\frac{h}{u'} \)

\( \phi = \tan \phi = \frac{h}{AC} = \frac{h}{r} \)

 

이를 다시한번 정리하고 -h로 나누면 다음의 굴절방정식을 구할 수 있다.

이 식은 근축 계산에 대한 기본적인 방정식이다.

\( \frac{n'}{u'} = \frac{n}{u} + \frac{(n'-n)}{r} \)

 

이 식에서는 입사 및 굴절각이 소거되어 있다. 구 표면의 근축 영역은 정점 A부근의 작은 영역이다.

근축도해에서는 표면을 A에 대한 탄젠트 평면으로 그린다.