5. Debye 길이(λD)에 대하여

 

플라즈마 내에 전기장이 생기면(정전하가 삽입된다면) 국부적인 전기장을 차폐하기 위하여 가볍고 운동성이 좋은 전자가 먼저 모아져 전기적으로 준중성 상태를 유지한다.

 

이때 모이는 전자의 두께가 거의 \( \lambda_D \)로 되어 전위의 변화는 거의 이 범위에서 일어나므로 그 속에서는 전장이 강하고 그 외부에는 전장이 약하다.

 

그러므로 디바이(Debye) 길이는 플라즈마의 전기적 중성의 성질이 깨지는 영역의 길이를 의미한다.

 

 

 

양전하 q가 전기적으로 중성인 플라즈마에 삽인된 경우 전하는 자유 공간에서 다음과 같은 전하를 만든다.

\( \Phi_0 = -\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r} \) (r: 전하로부터의 거리)

 

푸아송 방정식:

\( \nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \)

 

\( \rho \)는 플라즈마 전체 전하량으로 \( \rho = e(n_i - n_e) \), 전압 \( V \)는 전자밀도를 바꾸고, 밀도는 다음과 같다

\( n_e = n \exp\left(-\frac{eV}{kT_e}\right) \),

 

그리고 유전체이 없는 이유, \( n_i \), \( n_i = n \)과 \( \frac{eV}{kT_e} << 1 \)로 가정하면

 

\( \frac{d^2 V}{dx^2} = -\varepsilon_0 e [n - n \exp\left(\frac{eV}{kT_e}\right)] = \varepsilon_0 e n [\exp\left(\frac{eV}{kT_e}\right) - 1] \)

 

Taylor 급수를 이용하면

\( \frac{d^2 V}{dx^2} = \varepsilon_0 e n \left[1 + \frac{eV}{kT_e} + \frac{1}{2}\left(\frac{eV}{kT_e}\right)^2 + \ldots \right] \) 따라서...

 

\( \frac{d^2 V}{dx^2} \approx \varepsilon_0 \frac{e^2 n}{kT_e} V = \frac{1}{\lambda_D^2} V \)

 

\( \lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 kT_e}{e^2 n}} \)

 

\( V(r) = V_0 \exp\left(-\frac{r}{\lambda_D}\right) \)

 

 

 

플라즈마가 자유공간에서에 전위 \( V_0 \)를 발생시키고 \( \lambda_D \) 길이에서 \( \frac{1}{e} \) 정도로 감쇠함을 알 수 있다.

\( V(r) = V_0 \exp\left(-\frac{r}{\lambda_D}\right) \)

플라즈마 전하밀도에 의한 전차폐를 디바이 차폐라고 한다.

 

\( \lambda_D \)를 좋은 식으로 바꾸면

\( \lambda_D(\text{cm}) = 6.93 \left[ \frac{T_e(\text{K})}{n_e(\text{cm}^{-3})} \right]^{1/2} \)

= 743 \left[ \frac{T_e(\text{eV})}{n_e(\text{cm}^{-3})} \right]^{1/2}

 

예를 들어 \( T_e = 1 \text{eV} \), \( n_e = 10^{10} \text{cm}^{-3} \) 의 경우 디바이 길이는

\( \lambda_D = 74 \mu\text{m} \) 가 된다.

 

\( N_D \)  (λD 를 반지름으로 하는 구 내의 하전 입자 수)

 

전위 V가 \( e^{-1} \)로 감소하는 디바이 길이의 구 내의 입자들의 수는

\( N_D = \frac{4}{3} \pi n_e \lambda_D^3 \)

= \( 1.38 \times 10^3 n_e^{1/2} T_e^2(k) \)

= \( 1.718 \times 10^9 n_e^{1/2} T_e^2(eV) \)

 

플라즈마의 집단적 특성이 나타나기 위해서는  \( N_D \) 가 1보다 매우 커야 한다

Te > 1eV 이고, \( n_e < 10^{12} \text{cm}^{-3} \) 일 때

\( N_D \gg 1 \)

저온 플라즈마 에서는 \( N_D \approx 10^4 \) ~ \( 10^7 \) 정도가 되는 것이다.