3. Huygens-Fresnel principle, Remind Diffraction

 

[기초]

 

Huygens와 Fresnel원리 간단히 말하면 회절은 유한 크기의 광원으로부터 방출된 광파가 퍼져서 전파되는 것이나, 또는 크기가유한 개구를 통과하는 광파가 퍼져서 전파되어 나가는 광파의 경향을 말한다. 회절을 이해하려면 다음을 알아야 한다.

 

 

회절 = 간섭

 

 

2개 또는 2개 이상의 분리된 파동들이 있을 때 나타나는 간섭과는 달리 회절은 연속적으로 분포된 광원점들에서 발생된 대단히 많은 수의 파동들의 간섭으로부터 발생된 것으로 생각 할 수 있다.

 

Huygens는 파동의 회절과 전파를 이해할 수 있는 방법을 제시했고, 후에 Fresnel은 Huygens의 원리를다음과 같이 정리했다.

Huygens는 “빛 파면상의 모든 점은 구면파적인 잔물결들의 2차 근원 점으로 생각할 수 있다.

” Fresnel은 “파면 뒤의 어떤 점에서 파동의 진폭은 진폭과 위상 둘 다를 고려한 모든 잔물결들의 진폭의중첩이다.”

이 개념들을 그림으로 그리면 다음과 같다.

 

 

회절을 이해하는 이러한 방법은 구면파의 기술에 기초하는데, 이에 대한 관계는 여기서 아직 다루지않았다. 구면파는 x, y, 또는 z 와 같은 고정된 방향을 따른다고 하기 보다는 바로 구의 반경을 따라 진행하는 파동으로 상상할 수 있다.

 

구면파의 경우 파동 vector는 공간에서 어디서든지 원점에서 나서 vector에 평행하므로, \( k \cdot r = kr \) 이 된다. 여기서 \( k \) 는 파수이고 \( r \) 은 임의의 반경 방향을 따르는, 즉 거리이다.

또한, 파면 면적은 \( 4\pi r^2 \) 에 따라 커지므로, 중심에 있는 광원에서 방출된 전력(power)이 역정하다면, 세기는 (power/면적)는 \( 1/r^2 \) 에 비례하여 감소해야 한다. \( I = \psi^2 \) 이므로, 전폭 \( \Psi \) 는 \( 1/r \) 에 비례해야 한다. 따라서 구면파는 수학적으로 다음과 같이 기술될 수 있다.

 

\( \Psi(r) = -\frac{A}{r} \cos(kr - \omega t) \) 

 

 

Fraunhofer(Far-Field)와 Fresnel(Near-Field)회절

광학계와 그 주변 공간을 통해 전파 되는 광파의 전파를 정확하게 계산하려는 시도들이 오랜 동안있어왔다. 또한 광파동의 전파와 빛의 회절이 만드는 현상을 정확하게 공식화하려는 시도들이 있어 왔다. 파동의 전파와 회절을 정확하게 공식화 하는 데는: Fraunhofer와 Fresnel 근사라고 하는 2 가지의 표준적인 접근방법이 있다. 이 근사적인 이론들(다차원에서의 계산은 실제로 매우 어렵다)의 일반적인 공식화는수학적으로 매우 복잡하므로, 여기서는 개략적으로 다루며 다음절에서 몇 가지 특별한 예들을 생각해 보자.

 

[1] Fraunhofer(Far-Field)회절 영역

이 영역에서는 광파 파면이 개구(회절의 원인이 되는 방해물)와 스크린(파동을 관찰하는 위치) 둘 다에서 평면파라고 가정한다. 회절을 Fraunhofer 회절로 기술하면 수학적으로는 간단하고 매우 직관적이긴하지만, 광원과 개구 그리고 스크린이 모두 다 매우 멀리 떨어져 있거나, 또는 렌즈를 사용하는 경우에만 평면파를 만들 수 있다.

 

 

[2] Fresnel(Near-Field)회절 영역

이 영역에서는 광파의 파면이 개구와 스크린에서 곡면(예로써, 구면)인 것으로 생각한다. 이 경우 수학적표현은 매우 복잡하다. 그러나, 결과적으로 개구에 매우 근접한 곳에서의 회절파를 더욱 정밀하게 기술할수 있게 된다

 

 

만일 매우 좁은 슬릿을 통하여 빛을 “squeeze-짜내다” 하려고 시도한다면 우리는 어떤 무늬를 보게될것으로 기대할 수 있겠는가?

 

첫 번째로 슬릿의 다른 쪽에서 (squeeze를 시도하는 방향을 따라서) 퍼진빛을 볼 수 있게 되고,

두 번째로 회절은 간섭과 동등하므로 간섭무늬를 볼 수 있게 된다.

 

간단한 수학을 사용하여 더욱 정밀하게 이 무늬에 대한 예측을 해보자.

슬릿을 확대 해서 생각해 보자.

 

Huygens-Fresnel 원리에 의하면, 스크린 위의 한 점 y 에서 광파들의 진폭의 총합은 개구영역 내에 있는 무한 갯수의 무한히 작은 광원점 들로부터나온광파들의 중첩으로 주어진다.

 

 

한 점 에서 파생되어 전파되는 구면파의 근원점 역할을 하는 개구 내에 있는 무한히 작은 개구의 각각의 폭을 가지고 전파된다는 나오는 파동들의 중첩으로 구성된다.

 

\( A ds \) 의 진폭을 갖는 무한히 작은 구면파의 전파를 하는 개구 내(여기서는 \( -a/2 \leq s \leq a/2 \)) 파면상의 각각의 점 \( s \)를 생각해 보자. (여기서 \( A \)는 단위 폭 당 진폭이고 \( ds \)는 무한히 작은 구면 점 각각의 폭이다.)

 

 

 

광원과의 위치는 \( s = 0 \)으로부터 스크린의 각 개구점까지의 거리 \( r_0 \)를 뜻하며, \( s = 0 \)는 광원부터 스크린의 y축에 위치한 점까지의 거리를 뜻한다.

 

이러한 각 개구점에서 방출되는 무한히 작은 구면파의 진폭 \( d\Psi \)는

\[ d\Psi(y) = \frac{A \, ds}{r_0} \cos(k(r_0 - vt)) \] 

\( s \neq 0 \)의 경우에서 위의 스크린부터 y축까지의 거리는 \( r_0 \)보다 조금 더 길거나 짧을 수 있다.

 

따라서, \[ d\Psi(y) = \frac{A \, ds}{r_0 + \Delta} \cos[k(r_0 + \Delta) - vt] \] 

이 된다. 전체 진폭 \( \Psi(y) \)은 구형파의 개구점의 모든 진폭부터 모든 거리들로부터 다 더해져 있다.

 

그러므로 개구 내에서는 무한히 작은 진폭(즉 \( ds \)의)이 무한한 수가 있으므로 전체 진폭은 적분으로 표현할 수 있다. 즉,

\[ \Psi(y) = d\Psi_1 + d\Psi_2 + d\Psi_3 + \ldots = \int d\Psi(y) \] 

\[ = \int_{s = -\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{A_s}{r_0 + \Delta(s)} \cos[k(r_0 + \Delta(s)) - vt]ds \]

 

 \( \sin \theta = \Delta / s \) 라고 하면 \[ \Delta(s) = s \sin \theta \] 

따라서, \( \Delta \ll r_0 \)임으로, 전개발산에 의해 근사는 다음과 같이 될 수 있다.

\[ \frac{1}{r_0 + \Delta} \approx \frac{1}{r_0} \] 

 

그러나, cosine 함수의 \( \Delta \)는 앞쪽에 있는데, 이는 전개해본 공식

\[ \cos(\theta_1 + \theta_2) = \cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2 \]을 사용하면

\[ \cos[(kr_0 - vt) + k\Delta] \approx \cos(kr_0 - vt)\cos(k\Delta) - \sin(kr_0 - vt)\sin(k\Delta) \] 과 같이 된다.

 

cosine 형의 크기는 \( r_0 \)과 영향을 끼칠 수 있는 이 결과를 사용하여 \( \Psi(y) \)에 대한 적분 표현은 아래와 같다.

\[ \Psi(y) = \frac{A_s}{r_0} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos[k(r_0 + s\sin\theta) - \omega t]ds \] 

\[ = \frac{A_s}{r_0} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos[(k\sin\theta)s + (k(r_0 - \omega t))]ds \]

 

이 적분을 수행하려면 다소 익숙하지는 않지만, 삼각함수의 적분과 도함수의 관계를 사용하여 전개해야한다.

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{a} \sin(ax+b) \right) = \cos(ax+b) \] 

따라서, 계산의 기초적 이론들을 사용하면

\[ \int \cos(ax+b)dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + 상수 \] 

가 된다. 여기서 \( x = s \), \( a = k\sin\theta \), \( b = k(r_0 - \omega t) \)라 하면 \( \Psi(y) \)는 다음과 같다.

 

\[ \Psi(y) = \frac{A_s}{r_0 k \sin\theta} \sin[(k\sin\theta)s + (k(r_0 - \omega t))] \Bigg|_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \]

\[ = \frac{A_s}{r_0 k \sin\theta} \left( \sin[(k\sin\theta)\frac{a}{2} + (k(r_0 - \omega t))] - \sin[(k\sin\theta)\frac{-a}{2} - (k(r_0 - \omega t))] \right) \]

 

\[ = \frac{sin(k\sin\theta \frac{a}{2})}{k\sin\theta \frac{a}{2}} \frac{A_a}{r_0} \cos(k(r_0 - \omega t)) \] 

여기서는 \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \)와 삼각함수 공식을 사용하였다.

\[ \sin(\theta_1 + \theta_2) + \sin(\theta_1 - \theta_2) = 2\sin(\theta_1) \cos(\theta_2) \] 

 

세기를 계산하기 전에, 단일 슬릿으로부터의 회절을 해석할 때 자연적으로 나타나는 흥미로운 함수에대하여 먼저 생각해 보자. \( \Psi(y) \) 에 대한 표현에서 첫 번째 인자를 sinc함수라고 부른다.

\[ \text{sinc}(z) = \frac{\sin(z)}{z} \] 

 

 

\( \text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)

 

이 함수를 그리면 다음과 같다.

 

 

시간평균 세기는 시간 평균값 이므로

 

 

평균 강도 \( \langle I \rangle \)와 진폭 \( \Psi(y) \) 간의 관계는 다음과 같이 표현된다:

\( \langle I \rangle = \langle \Psi(y)^2 \rangle = \frac{\sin^2(ka\sin\theta/2)}{(ka\sin\theta/2)^2} \cdot A^2 \cdot \frac{a^2}{2r_0^2} \cos^2(kr_0 - \omega t) \)

 

단순한 \( \cos^2 \)함수의 평균값은 1/2이므로, \( ka\sin\theta/2 = \pi a\sin\theta/\lambda \)로 바꿀 때,  식은 다음과 같다:

\( \langle I_D \rangle = \frac{A^2 \cdot a^2}{2r_0^2} \)

 

여기서 \( \langle I_D \rangle \)는 피먄 공간에 일반화된 평면파의 세기이고, 회절된 평면파의 세기는:

\( \langle I \rangle = \langle I_D \rangle \cdot \frac{\sin^2(\pi a\sin\theta/\lambda)}{(\pi a\sin\theta/\lambda)^2} = \langle I_D \rangle \cdot \text{sinc}^2(\pi a\sin\theta/\lambda) \)

로 주어진다. 따라서 시간 평균세기는 중심에 Peak를 갖고 양쪽으로 크기가 작은 무늬들을 갖는 형태가된다.

 

 

 

각이 작은 경우에는 즉, 스크린이 개구로부터 멀리 있고, 광측 근처에서 상을 볼 때는  \( \sin\theta \approx \theta \) 로 쓸수있으므로, 중앙 피크 옆의 첫 번째 영이 되는 점은 다음의 위치에 있게 됨을 알 수 있다.

\( \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \approx \frac{\pi a\theta}{\lambda} = \pi \)

 

첫 번째 0 위치는 관찰자에 대하여 상대적인 \( \theta = \frac{\lambda}{a} \) 위치에서 얻게 된다.

\( \theta = \frac{\lambda}{a} \)

 

만일 렌즈를 사용하여 "far field"조건을 만족시킨다면  \( \theta = y/f \) 가 된다. 여기서 \( f \)는 렌즈의 초점거리이며, 무의 세기 \( \langle I(y) \rangle \) 는 다음과 같은 경우에서 0 이 된다

따라서 스크린 위에서 다음과 같은 무늬를 볼 수 있게 된다.

\( \frac{\pi ay}{\lambda f} = m\pi \) (\( m = \pm 1, \pm 2, \ldots \))

 

 

 

렌즈의 초점면에 스크린을 두는 경우에는: \( y_m = m\frac{\lambda f}{a} \) (\( m = \pm 1, \pm 2, \ldots \))

 

 

만일 개구 뒤에 L 만큼 떨어진 곳에서 관찰한다 하자.

여기서 \( L \gg \lambda \), 인 경우에는 \( \theta = y/L \) 이 된다. 따라서  

스크린의 거리 \( L \) 이 멀리 있을 때에 세기가 0 이 되는 위치는 \( y_m = m\frac{NL}{a} \) (\( m = \pm 1, \pm 2, \ldots \))

 

2차원 개구에서의 회절

일반적인 2차원 개구들

 

원형 개구와 장방형 개구는 2차원적인 회절의 특성을 나타내는 가장 일반적인 개구들이다.

장방형개구들을 통한 빛의 회절은 아래 그림에서와 같이 단일 슬릿으로 부터의 1차원적 회절을 2차원의 경우로직접적으로 확장인 셈이 된다.

 

원형 개구의 회절무늬를 정량적으로 정확하게 기술하려면 다소 복잡한 수학(“Bessel 함수들”이라 불리는)이 필요하게 된다. 그러나 주요 결과는 아래 그림에서 보여주는 바와 같이 매우 단순한 형태이다.

 

 

 

회절에 의한 레이저 광속의 발산

레이저 광속은 전파방향에 대하여 횡방향 내로 빛을 한정 시키려하는 고유 특성을 갖고 있지만 빛이개구를 통과 할 때 처럼 자연적으로 퍼져나가게 된다.

 

 

기대한 것처럼 발산 각은 다음으로 주어진다.

 

\( \theta \approx \frac{\lambda}{a(0)} \), \( a(z) \approx \frac{\lambda z}{a(0)} \)

 

레이저 광속의 직경이 빛의 파장보다 매우 크므로  \( \theta \)는 \( \frac{\lambda}{a(0)} \) 이고 광속의 발산각 \( \theta \)는 아주 작게 된다!

 

한 예로써, 파장 \( 633nm \) 인 He-Ne 레이저 광은 일반적으로 많이 사용되는데, 광속의 직경이 \( a(0) \)는 \( 0.5mm \) 로 부터 \( 1.0mm \) 사이 이므로 이 값을 근사적으로 \( \sim0.633mm \) 라고 하고 He-Ne 레이저광의 광속 발산 각을 구해 보자. 따라서 발산각

 

\( \theta \approx \frac{633 \times 10^{-9}m}{0.633 \times 10^{-3}m} = 10^{-3} \text{radians} = 1 \text{milliradian} \) 

 

따라서, 광속의 직경이 10 배 이상 커지기 전에 광속이 전개되는 거리는

\( z \approx \frac{a(0)}{\lambda} a(z) = \frac{a(0)}{\lambda} 10a(0)^2 = \frac{10a(0)^2}{\lambda} = 6.33 \text{meter} \) 

 

렌즈의 초점에서의 회절한계 Spot

기하광학에서는 이상적인 (수차가 없는) 렌즈에 평행하게 입사한 광선들은 렌즈로부터 초점거리 만큼떨어진 위치의 단일 초점으로 모두 수렴된다고 가정하였다. 그러나 실제로는 이 가정은 정확히 올바르지는못하며, 렌즈의 직경이 유한함으로써 렌즈는 입사광선들에 대하여 개구들처럼 작용한다. 따라서 빛은 렌즈를통과 하자마자 퍼지기 시작하고 초점에서는 퍼진(blurred) spot을 만들게 된다.

 

 

이 현상은 원형 개구를 통과하는 빛의 회절과 동등하기 때문에 초점 부근에서의 빛은 Airy disc 무늬를나타낸다. 회절무늬가 단지 렌즈의 직경 D 와 초점거리 F 에 의해 결정되므로 Airy Disc의 크기는 렌즈의 직경 D와 초점거리 그리고 빛의 파장에 의해 결정된다.

 

 

 

만일 광학계의 광선수차가 통제되어 물체의 한 점을 떠난 모든 광선들이 대응되는 상점과 관련된 Airy Disc 의 면적 내로 모아진다면 이를 회절한계(Diffraction Limited) 결상이라 부른다. (이것은 유한직경의 렌즈를 사용한 광학계가 가질 수 있는 절대 최고의 값이다.)

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[요약]

Huygens-Fresnel 원리

전자기파는 전자기장(E, ~ B~ )의 전자기파에 의해 생성된다.

둘 다 벡터 양이지만 대부분의 회절 현상은 단색으로 간주되는 스칼라 파동 U(벡터가 없는 전기장 또는 자기장)를 고려함으로써 설명할 수 있다. :

\( U(x, y, z, t) = U(x, y, z)e^{-i\omega t} \) 

 

 \( U(x, y, z)\) 는 진동의 복소 진폭 \( \omega\) 는 진동의 파동.
 \( \omega = \frac{2\pi c}{\lambda} \), \( c \) 는 광속, \( \lambda \) 는 파장.

 

Fresnel Diffraction and Fresnel Transform

프레넬 회절은 유한 거리 z에서의 회절이다. 거리 \( r \)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\( r \approx z + \frac{1}{2z} \left[ (x - x')^2 + (y - y')^2 \right] \)

그리고 프레넬 적분은 다음과 같다:

\( U_z(x, y) = A\frac{e^{2i\pi z/\lambda}}{i\lambda z}. \int \int f(x', y') \exp \left( \frac{i\pi}{\lambda z}) \left[(x - x')^2 + (y - y')^2 \right] \right) dx'dy' \) 

 

다시 한번 더 정리하자면, :
\( U_z(x, y) = A f(x, y) * D_z(x, y) \) 

여기서 \( A = Ae^{2i\pi z/\lambda} \)는 거리 z에 대한 평면파의 전파이며, 
\( D_z(x, y) = \frac{1}{i\lambda z} \exp \left( \frac{i\pi (x^2 + y^2)}{\lambda z} \right) \)

중심 O의 구형파의 복소 진폭, \( U_z(x, y) \)를 평면 z = 0에서 점-원으로부터 생성된 구형파의 합으로 표현한다.

함수 \( D_z \)는 프레넬 회절의 진폭 함수. : ( \( \int \int D_z(x, y)dx dy = 1 \)

 

(x \) 및 (y \) 에 관련된 공간 주파수를 \( u \) 및 \( v \) 로 표시하면, :
 \( \hat{U}_z(u, v) = \hat{A} f(u, v).\hat{D}_z(u, v) \) 와 \( \hat{D}_z(u, v) = \exp \left( -i\pi\lambda z(u^2 + v^2) \right) \)

이 함수는 \( \hat{D}_z(0, 0) = 1 \) 이라는 의미에서 정규화된다.

전파 함수의 형태를 보면 각 공간 주파수가 제곱 계수 \( u^2 + v^2 \)에 비례하는 위상 편이의 영향을 받는다는 것을 알 수 있다.

 

프레넬 회절을 작성하는 또 다른 방법을 살펴보자.
\( U_z(x, y) = A\frac{e^{2i\pi z/\lambda}}{i\lambda z} \exp \left( \frac{i\pi (x^2 + y^2)}

Equation-1

 

{\lambda z} \right) \int \int f(x', y') \exp \left( \frac{i\pi (x'^2 + y'^2)}{\lambda z} - 2i\pi \left( \frac{x'x}{\lambda z} + \frac{y'y}{\lambda z} \right) \right) dx'dy' \) 

그리고 프레넬 변환을 보자 :
\( U_z(x, y) = A\frac{1}{i\lambda z} \exp \left( \frac{i\pi (x^2 + y^2)}{\lambda z} \right) \mathcal{F}_z \left[ f(x', y') \exp \left( \frac{i\pi (x'^2 + y'^2)}{\lambda z} \right) \right] \) 


기호 \( \mathcal{F}_z\{\} \) 는 푸리에 변환 및 \( f(x', y') \exp \left( \frac{i\pi (x'^2+y'^2)}{\lambda z} \right) \) 공간 주파수 \( x/\lambda z \) and \( y/\lambda z \)의 함수이다.

 

Fraunhofer Diffraction

프라운호퍼 회절(또는 무한대에서의 회절)은 거리 \( z \)가 무한대를 향할 때 프레넬 회절의 극한이다. 위상 항 \( \exp \left( \frac{i\pi (x'^2+y'^2)}{\lambda z} \right) \)는 방정식에서 1을 향하고 복소 진폭 \( U_z(x, y) \)이 된다:

\( U_z(x, y) = \frac{A}{i\lambda z} \exp \left( \frac{i\pi (x^2 + y^2)}{\lambda z} \right) \hat{f}\left( \frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z} \right) \) 

방향 \( \alpha = \frac{x}{z} \) 및 \( \beta = \frac{y}{z} \) 에서 회절 진폭은 화면의 푸리에 변환에 비례하여 \( \hat{f}\left( \frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\beta}{\lambda} \right) \) 가 됩니다. 따라서 \( \alpha, \beta \) 방향의 강도는 \( f(x, y) \), 즉 \( |\hat{f}(\frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\beta}{\lambda})|^2 \)의 파워 스펙트럼에 비례합니다.

이러한 종류의 계산은 신호 처리 분야에서 자주 만나게 되는데, 프라운호퍼 회절 현상을 이용해 2차원 푸리에 변환을 실현할 수 있다.

실험적으로 프라운호퍼 조건은 수 미터 또는 수십 미터 거리에서 회절을 통해 얻을 수 있다. 이러한 광학 설정은 다소 번거롭고 매우 밝은 광원이 필요하다( \( U_z \) 는 \( \frac{1}{z} \) 에 비례한다). 그러나 수렴 렌즈를 사용하면 한정된 거리에서 프라운호퍼 회절을 관찰할 수 있다는 것을 알 수 있다.